Mathematische Methoden der Personenversicherung by Hartmut Milbrodt, Manfred Helbig

By Hartmut Milbrodt, Manfred Helbig

Das Buch gibt eine praxisnahe und wissenschaftlich aktuelle Darstellung der Lebens- und der Pensionsversicherungsmathematik mit zahlreichen authentischen, explizit durchgerechneten Anwendungsbeispielen und umfangreichem Übungsmaterial. Behandelt werden zunäauml;chst die Modellierung der Rechnungsgrundlagen Zins und biometrisches Risiko (insbesondere Sterbetafeln) sowie der Versicherungsleistungen. Darauf aufbauend folgt die Berechnung erwarteter Barwerte und Prämien in der Personenversicherung, füuuml;r die neben sehr allgemeinen Formeln auch die traditionellen Darstellungen mittels Kommutationszahlen angegeben werden. Breiter Raum wird dem Deckungskapital gewidmet. Neben der Deckungskapitalberechnung in konkreten Fällen stehen hier Gesetzmäßigkeiten, die die Dynamik des Deckungskapitals steuern, im Mittelpunkt: Rekursionsformeln sowie Thielesche Differential- und Integralgleichungen. Untersuchungen zum Verlustrisiko runden die mathematische examine von Personenversicherungsverträgen ab. Ein abschließendes, vorwiegend betriebswirtschaftlich orientiertes Kapitel befasst sich mit der Überschussanalyse in der Lebensversicherung, beispielsweise mit dem Ertragswertbegriff, mit der Kontributionsformel und Fragen der Deckungsbeitragsrechnung. In getrennten Anhängen werden mathematische Hilfsmittel und Rechnungsgrundlagen bereitgestellt, so dass sie unmittelbar bei der Löouml;sung der fortlaufend eingearbeiteten Programmieraufgaben Verwendung finden können. Das Buch wendet sich sowohl an in der Praxis stehende Versicherungsmathematiker und angehende Aktuare als auch an wissenschaftlich täauml;tige Versicherungsmathematiker und versicherungs

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Für ein in m = 20 Jahren beginnendes Studium soll eine n = 7 Jahre jährlich vorschüssig zahlbare Rente von R = 18 000 Geldeinheiten durch t = 15 jährlich vorschüssig zahlbare Sparraten P bei einem Zinssatz von i = 7 % angespart werden. 48 2. 39 Geldeinheiten erhält. Beispiele von Kreditverträgen finden sich in den Aufgaben 25 und 27. 42 Definition. Das retrospektive Deckungskapital eines Tripels (ZL , ZP , K) zur Zeit t ≥ 0 ist (r) tV : = K(t) · [0,t) ZP (dτ ) − K(t) · K(τ ) [0,t) ZL (dτ ) K(τ ) K(t) = · s(ZP )(t − 0) − s(ZL )(t − 0) .

Auch im allgemeinen Fall gewinnt man die Kapitalfunktion aus der kumulativen Zinsintensität mittels einer Exponentialformel. 7 Satz. Sei : [0, ∞) −→ [0, ∞) eine Verteilungsfunktion mit (0) = 0. 1) (0,t] genau eine auf Kompakta beschränkte Lösung, nämlich K(t) = exp (c) 1+ (t) · (τ ) , t ≥ 0. 2) τ ≤t K ist die Verteilungsfunktion eines Borelmaßes auf [0, ∞). 1) aus Abschnitt A des Mathematischen Anhangs. Die Verwendung von K(· − 0) an Stelle von K in der Definitionsgleichung für ermöglicht also die Einbettung der Theorie der kumulativen Zinsintensitäten in die allgemeine Theorie der Produktintegration additiver Intervallfunktionen.

Seien Z ∈ Z und K eine Kapitalfunktion. (a) Wegen Z+ (∞) ∧ Z− (∞) < ∞ und 0 < v ≤ 1 ist 0 ≤ vdZ+ ∧ Folglich sind a(Z) und s(Z) wohldefiniert. vdZ− < ∞. C Bewertung allgemeiner Zahlungsströme 37 (b) Ist Z(t) = Z(t) · 1[0,t0 ) (t) + Z(t0 ) · 1[t0 ,∞) (t) ab t0 konstant (d. h. gilt supp µZ ⊂ [0, t0 ] für den Träger des durch Z definierten Borelmaßes µZ ), so ist a(Z)(t) = a(Z)(t0 ) , t ≥ t0 . 25 ist auf den ersten Blick wenig einleuchtend, da nach dem Zahlungsstrom Z und nicht nach der Kapitalfunktion K, der Diskontierungsfunktion v oder der kumulativen Zinsintensität integriert wird.

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