Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung by Andrej N. Kolmogoroff

By Andrej N. Kolmogoroff

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Die Relation (2) zeigt uns, daß auch die Konvergenzmenge A zu tr gehört. Es hat also immer einen ganz bestimmten Sinn, über die Wahrscheinlichkeit der Konvergenz einer Folge zufälliger Größen zu sprechen. Es sei jetzt die Wahrscheinlichkeit P(A) der Konvergenzmenge A gleich Eins. Dann behaupten wir, daß die Folge (1) mit der Wahrscheinlichkeit Eins gegen eine zufällige Größe x konvergiert, dabei ist die zufällige Größe x bis auf Äquivalenz eindeutig bestimmt. Um eine solche zufällige Größe zu bestimmen, setzen wir auf A n-oo und x = 0 außerhalb A.

Bedingte mathematische Erwartungen. 49 nur die Geltung der Gleichung (1) für die nach (11) definierte Größe Eu (y) zu verifizieren. o +00 ~ kA p{ucA}{k1 <: Y < (k A-+O k=-oo + 1)l} = qucA}(Y)' Bei dieser Rechnung ist die Vertauschung des Erwartungs- und Limes. zeichens berechtigt, da SÄ (u) mit 1-+ 0 gleichmäßig gegen Eu (y) k~n­ vergiert (eine einfache Folge der Eigenschaft V· der mathematischen Erwartungen aus § 2). ). Man könnte· statt (11) Eu(y) (12) = JY Pu (dE) E schreiben, man darf aber dabei nicht vergessen, daß (12) kein Integral im Sinne des vierten Kapitels, § 1 ist.

LI/; _1 [E\ll, \ll•... ;. •. lI, \ll•... 1/[/;-1 (s,,) - E\ll, \ll•... )] = 0 und folglich Wir haben also 02(S,,) = (12 (ZII1) + 02(ZII2) + ... 2 + ... " --+ 0 für die normale Stabilität der Größen sn hinreichend. § 4. Bemerkungen zum Begriff der mathematischen Erwartung. Wir haben die mathematische Erwartung einer zufälligen Größe x als E(x) J +00 J = x P(dE) = adF(S)(a) B -00 1 Vgl. A. KOLMOGORoFF: Sur la loi des grands nombres. Rend. Accad. 470-474. I Anwendung der Formel (1 5), fünftes Kapitel, § 4.

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