Algebra (2006) by Claus Scheiderer

By Claus Scheiderer

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Es ist [L : K] ≤ n!. 12. Definition. Sei f ∈ K[t], nicht konstant. Ein Oberk¨ orper L von K heißt ein Zerf¨ allungsk¨ orper von f u allt, und wenn L ¨ber K, wenn f u ¨ber L in Linearfaktoren zerf¨ u ¨ber K von den Nullstellen von f erzeugt wird. 13. Satz. Sei f ∈ K[t], deg(f ) = n ≥ 1. Dann hat f einen Zerf¨ allungsk¨ orper L u ¨ber K, und L ist eindeutig bestimmt bis auf K-Isomorphie. Es ist [L : K] ≤ n!. Beweis. 11). Es bleibt, die Eindeutigkeit von L bis auf Isomorphie zu zeigen. Wir f¨ uhren Induktion u ¨ber n = deg(f ).

Andererseits ist [Q(ζ) : Q] = p − 1, also ist [L : Q] ≤ p(p − 1). Andererseits m¨ ussen p und p − 1 den Grad [L : Q] teilen, und es folgt somit [L : Q] = p(p − 1). 2. 16. Sei L = K(α) eine endliche Erweiterung von K, sei f = MinPol(α/K). Durch Wahl eines anderen Erzeugers von L/K kann man oft das Minimalpolynom vereinfachen. Wir demonstrieren das am Fall von quadratischen Gleichungen. Sei L/K eine quadratische Erweiterung (d. h. [L : K] = 2). Sei α ∈ L K beliebig, also L = K(α), sei MinPol(α/K) = t2 + at + b.

10. Korollar. Sei K ein algebraischer Abschluß von K, und sei L/K eine beliebige algebraische K¨ orpererweiterung. Dann gibt es eine K-Einbettung L → K. 7. 11. Definition. (Erinnerung) Sei K ein K¨ orper, und E/K eine K¨ orpererweiterung. ∼ Ein K-Automorphismus von E ist ein bijektiver Ringhomomorphismus ϕ : E → E von E mit ϕ(a) = a f¨ ur alle a ∈ K. Die Menge aller K-Automorphismen von E bildet bez¨ uglich Komposition eine Gruppe, die mit Aut(E/K) bezeichnet wird. 12. Korollar. Sei K ein K¨ orper und K ein algebraischer Abschluß von K.

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